一般化されたフックの法則

• 構成則は弾性だけでなく，粘性や塑性なども含めた，物体に作用する力と変形の関係を示すものです．ここでは，完全弾性体のみ考えます．
  • ここでの完全弾性体とは，外力が取り除かれたときに元の形状に戻る物体を指します．
  • 疑問：完全とつくのは，何らかの理想状態を仮定している?
• 完全弾性体での構成則は一般化されたフックの法則となります．
  • 式は次の通りです
  \[\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \tag{1}\]
  • ここで， $\sigma_{ij}$ は応力テンソル， $C_{ijkl}$ は弾性定数テンソル， $\varepsilon_{kl}$ はひずみテンソルとなります．
• 3次元での挙動を考えれば， $i,j,k,l$ はそれぞれ $x,y,z$ の3つの方向を取りうるため，$C_{ijkl}$ は $3^4=81$ 個の要素を持ちます．
• しかし次のような理由から，独立な弾性定数な弾性定数は5個となる
  1. 応力テンソル，ひずみテンソルともに対称テンソルであるため，弾性定数テンソルも対称テンソルとなる
  2. ひずみエネルギー関数が存在する
  3. 軸対称性
• これらを仮定するとLameの定数$\lambda$と$\mu$を用いて，式(1)は次のように表されます． \(\sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2 \mu \varepsilon_{ij}\)
• ここで体積ひずみ$\varepsilon_{v}$，平均応力$\sigma_{m}$を以下のように定義します．
  • 体積ひずみ
  \[\varepsilon_{v} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz}\]
  • 平均応力
  \[\sigma_{m} = \frac{1}{3} (\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz})\]
• このとき，偏差ひずみ$\varepsilon_{d}$, 偏差応力は$\sigma_{d}$は次のように定義されます．
  • 偏差ひずみ
  \[\varepsilon'_{ij} = \varepsilon_{ij} - \frac{1}{3} \varepsilon_{v} \delta_{ij}\]
  • 偏差応力
  \[\sigma'_{ij} = \sigma_{ij} - \sigma_{m} \delta_{ij}\]
• このように定義することで，式(1)は次のように表されます． \(C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})\)
  • ここで$\lambda$は体積弾性率，$\mu$はせん断弾性率，$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタです．

水平成層構造を伝播する弾性波の理論

• ここでは1次元の水平成層構造を考えます．ある層$i$の厚さを$Hi$，密度を$\rho_i$，せん断波速度を$v^s_{i}$，P波速度を$v^p_{i}$とします．

参考図書

纐纈一起, 地震動の物理学, 近代科学社, 2018